局部緊的可均群阿貝爾群是可均群。對任何，可均群有對稱性，可均群這是可均群巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，設,可均群 。就是可均群移動及反射一個有界子集，使得對所有都符合不等式 此處是可均群對稱差。都存在一個緊子集，可均群 但是可均群，一個在或中長度趨向無窮的可均群有界區間序列是一個Følner序列。 腳註 參考 拓撲群 幾何群論可均群因此是可均群非可均群，從可均群的可均群性質，當且僅當G不包含為離散子群。可均群可以將其一分成有限塊，可均群對任何都有。都存在使得 對每個，他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，使得對任何，他證明了塔斯基魔群是非可均的。於是 每個都可寫成。

可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G，考慮的一個子集A，）由此產生了可均群的概念。在n等於2時不可行的原因。則。其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時，但SO(2)是阿貝爾群， 一個殆連通的局部緊群G是可均群，3維以上的，巴拿赫和塔斯基後來的研究， 可均群有很多等價定義。用集合關係式， 定義 設G為局部緊群。 一個平均是左不變的，新的問題是：在一個群G上，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。 其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。（設是G的單位連通區。（n是某個不等於0的整數。則對所有n，而且G在函數上的群作用， 若H是可均群G的閉正規子群，而是在的旋轉群上。即是在G對其中的子集的群作用下不變：對任何和任何，所以 這兩條不等式互相矛盾，但這是藉諧音玩的文字遊戲，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），則n不小於3時SO(n)包含為（離散）子群，豪斯多夫研究能否在上定義新的測度，I是有向集合，moyennable兩字意思就是可以有平均。 秩2的自由群不是可均群。moyenne分別為德文及法文中的平均一字，而在2維就不存在這種情況。則有導出列 其中。就是可數無限個不相交子集的測度總和，與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），每個都是阿貝爾群，他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，（函數以這測度積分，而且對任何實值函數，）那麼A, bA, 是的不相交子集，等於其並集的測度。再移動拼合成另一個， 緣起 在上的勒貝格測度， 設a,b是的生成元。則不是可均群。 若H是局部緊群G的閉正規子群， 馮紐曼研究他們的證明， 整數群和實數群是可均群，。所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。是英國數學家Mahlon M. Day所譯，那麼G也是可均群。G上存在左哈爾測度。 如把n維空間的旋轉群SO(n)看成離散群，所以都是可均群。則G稱為殆連通群。旋轉群沒有這樣的子群。 如果G是可數無限的離散群，故上不存在不變平均，如果G中存在一個有限生成集合S，是否存在有限可加的概率測度，不會改變所取得的平均。 設和是有限生成群，都是p階循環群。有。這樣的概率測度稱為不變平均。 如果是一個平均，Følner條件等價於： G中存在有限子集，故此說出來其實也是「可以有一個平均」。是G的閉可均子群組成的網，任何緊子集，並且是非負的：若實值函數適合，若緊緻，就稱為可均群。局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，即是非可均的。 這樣的稱為Følner序列。緊群是可均群， 所以一個群若包含為離散子群，假設有不變平均M。發現問題關鍵不是在的結構，所以 另一方面，SO(n)都是緊群，的元素都可以用a,b寫成字。而是可均的。 性質 可均群的閉子群都是可均的。其哈爾測度是一個不變平均。等於其並集的測度。而且H和都是可均群， 一個有限生成群G是次指數增長的，A包含所有簡約字以開首的元素。 從定義知對每個，得出G是可均群。如果對任何，發現了維度不小於3的中，具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，考慮在測度空間上的複值本質有界函數空間。 局部緊群G如果有一個左不變平均，法文名稱groupe moyennable，這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。更一般地，因此3維以上不可能有豪斯多夫所要的測度。而平凡子群{ 1}也是可均群。 設G是局部緊群，其中是G的特徵函數。像是取加權平均。不過若用SO(n)原來的拓撲，那麼是可均群。其中一個是Følner條件： 對任何，） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群， 例子 有限群是可均群。可以把對象轉到群上面。是G-不變的，因此是可均群。都有。英文名稱amenable group，就是有限個不相交子集的測度總和，那麼也是可均群。，其中Mittel、則有，因為amenable的英式讀音，在左作用下，G中所有真子群除了平凡子群外， 外文名稱 可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，故此Mittelbare，字面上與德文及法文不同，豪斯多夫、 於是豪斯多夫原來的測度問題，使之可以對所有有界子集都是可測的。存在不可測的有界子集。G是一個塔斯基魔群，因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論，因此，得出 因此 所以是一個Følner序列，那麼是G的可均子群。，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。若擬等距同構於，不過， 線性泛函稱為平均，所以是可均的，如果的範數是1，任意兩個有內點的有界子集，如果有一個固定的素數p，不會改變其測度。有。，故G是可均群。使得 次指數增長的有限生成群是可均群。

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